【題目】如圖,已知四棱錐,平面,,,.
(1)求證:平面;
(2)求證:在線段上存在一點,使得,并指明點的位置;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析;點是的中點(3)
【解析】
(1)根據(jù)所給線段,應(yīng)用勾股定理逆定理可證明,結(jié)合平面可知,從而由線面垂直判定定理即可證明平面;
(2)根據(jù)垂直關(guān)系,以點為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),設(shè),表示出后結(jié)合平面向量數(shù)量積垂直的坐標(biāo)關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而確定的位置.
(3)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量平面的法向量,由空間向量數(shù)量積定義求得兩個法向量夾角的余弦值,結(jié)合二面角為銳二面角,即可求得二面角的大小.
(1)證明:,
.
又,
,
,
又平面,平面,
,
平面,
,
平面.
(2)證明:以點為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
所以,,.
設(shè),,則,
所以,
,解得,
所以點是的中點.
(3)設(shè)平面的法向量為
,,
所以即
令,則.
設(shè)平面的法向量為,
因為,,
所以即,
令,則,
所以.
由圖知二面角的平面角為銳角,
所以二面角的大小為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】唐代詩人李欣的是古從軍行開頭兩句說“百日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有缺的數(shù)學(xué)故事“將軍飲馬”的問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域為,若將軍從出發(fā),河岸線所在直線方程,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時,在上存在最小值;
(2)若是的零點且當(dāng)時,,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且a≠1,函數(shù).
(1)判斷并證明f(x)和g(x)的奇偶性;
(2)求g(x)的值域;
(3)若x∈R,都有|f(x)|≥|g(x)|成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究每周累計戶外暴露時間是否足夠(單位:小時)與近視發(fā)病率的關(guān)系,對某中學(xué)一年級名學(xué)生進(jìn)行不記名問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
(1)用樣本估計總體思想估計該中學(xué)一年級學(xué)生的近視率;
(2)能否認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時間與近視有關(guān)系?
附:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)證明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直線AD與平面APC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),直線與曲線分別交于兩點.
(1)若點的極坐標(biāo)為,求的值;
(2)求曲線的內(nèi)接矩形周長的最大值.
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