【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風(fēng)窗(陰影部分均不通風(fēng)),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.
【答案】
(1)解:①如圖1所示,當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動,即0<x≤1時,△EMN的面積S= =x;
②如圖2所示,當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動,即1<x< 時,連接EG,交CD于點F,交MN于點H,
∵E為AB中點,
∴F為CD中點,GF⊥CD,且FG= .
又∵MN∥CD,∴△MNG∽△DCG.
∴ ,即 .
故△EMN的面積S= = ;
綜合可得:
(2)解:①當(dāng)MN在矩形區(qū)域滑動時,S=x,所以有0<S≤1;
②當(dāng)MN在三角形區(qū)域滑動時,S= .
因而,當(dāng) (米)時,S得到最大值,最大值S= (平方米).
∵ ,
∴S有最大值,最大值為 平方米
【解析】(1)分類求出MN在矩形區(qū)域、三角形區(qū)域滑動時,△EMN的面積,可得分段函數(shù);(2)分類求出△EMN的面積的最值,比較其大小,即可得到最值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AD=AB=DC=BC=1,E是PC的中點,面PAC⊥面ABCD.
(1)證明:ED∥面PAB;
(2)若PC=2,PA=,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè), .
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在區(qū)間上的極值點個數(shù);
(3)是否存在,使得在區(qū)間上與軸相切?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC= ,AB=1,BD=PA=2,M 為PD的中點.
(1)求異面直線BD與PC所成角的余弦值;
(2)求二面角A﹣MC﹣D的平面角的余弦值.
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【題目】從0,1,2,3,4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù),記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和.
(1)求X是奇數(shù)的概率;
(2)求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
男 | 女 | 總計 | |
需要幫助 | 40 | m | 70 |
不需要幫助 | n | 270 | s |
總計 | 200 | t | 500 |
(1)求m,n,s,t的值;
(2)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的比例;
(3)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者幫助與性別有關(guān).
參考公式:
隨機變量K2= ,n=a+b+c+d
在2×2列聯(lián)表:
y1 | y2 | 總計 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
總計 | a+c | b+d | a+b+c+d |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì)對任意的,使得成立.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)求證: ;
(2)若,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|﹣4<x<1},B={x|( )x≥2}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= 的定義域為C,求(RA)∩C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)是:P=
該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系是:Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N*),求這種商品的日銷售金額的最大值.
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