【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若時,函數(shù)有兩個不同的零點,
①求的取值范圍;
②求證:.
【答案】(Ⅰ)減區(qū)間為,增區(qū)間為.(Ⅱ)①②詳見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)由極值定義可得,從而可解得.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點討論導(dǎo)函數(shù)符號,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,(Ⅱ)①先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,即函數(shù)為非單調(diào)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)必有零點,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)變化規(guī)律得函數(shù)最大值必大于零,又端點函數(shù)值趨于負(fù)無窮,根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)必有兩個零點,最后解最大值大于零時的取值范圍,②等價于,由零點條件得,,兩式相加與相減再相除消去得,因此轉(zhuǎn)化為證明,即需證明,令,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,得,即可得到結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)解:由已知得,
所以,所以.
所以.
則,
由得,由得./span>
所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.
(Ⅱ)①解:由已知.
所以,
當(dāng)時,顯然恒成立,此時函數(shù)在定義域內(nèi)遞增,至多有一個零點,不合題意.當(dāng)時,令得,
令得;
令得.
所以極大值為,解得.
且時,,時,.
所以當(dāng)時,有兩個零點.
②證明:,為函數(shù)的兩個零點,不妨設(shè).
所以,,
兩式相減得,兩式相加得.
要證,即證,
即證,即證.
令,即證.
令,則,
所以,即,
所以,所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2015高考四川,文21】已知函數(shù)f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與圓C:相交于A,B兩點,弦AB中點為M(0,1),
(1)求實數(shù)的取值范圍以及直線的方程;
(2)若圓C上存在四個點到直線的距離為,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知N(0,﹣3),若圓C上存在兩個不同的點P,使,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
.
(1)求
在
處的切線方程;
(2)令
,求
的單調(diào)區(qū)間;
(3)若任意
且
,都有
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年1月1日,作為貴陽市打造“千園之城”27個示范性公園之一的泉湖公園正式開園.元旦期間,為了活躍氣氛,主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項目向全體市民開放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機抽取了60名男生和40名女生共100人進行調(diào)查,統(tǒng)計出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖表:
(1)根據(jù)條件完成下列
列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)?
愿意 | 不愿意 | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
(2)水上挑戰(zhàn)項目共有兩關(guān),主辦方規(guī)定:挑戰(zhàn)過程依次進行,每一關(guān)都有兩次機會挑戰(zhàn),通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn),若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為
,記甲通過的關(guān)數(shù)為
,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式與數(shù)據(jù):
0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列5個命題中正確命題的個數(shù)是( )
①對于命題p:x∈R,使得x2+x+1<0,則綈p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②m=3是直線(m+3)x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直的充要條件;
③已知回歸直線的斜率的估計值為1.23,樣本點的中心為(4,5),則線性回歸方程為=1.23x+0.08;
④若實數(shù)x,y∈[-1,1],則滿足x2+y2≥1的概率為;
⑤曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積是S= (x-x2)dx.
A.2 B.3 C.4 D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一醫(yī)用放射性物質(zhì)原來質(zhì)量為a,每年衰減的百分比相同,當(dāng)衰減一半時,所用時間是10年,根據(jù)需要,放射性物質(zhì)至少要保留原來的,否則需要更換.已知到今年為止,剩余的為原來的,
(1)求每年衰減的百分比;
(2)到今年為止,該放射性物質(zhì)已衰減了多少年?
(3)今后至多還能用多少年?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時, ,則函數(shù)在區(qū)間[-7,1]上的零點個數(shù)為( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足對任意,,恒有,且不恒為0.
(1)求和的值;
(2)試判斷的奇偶性,并加以證明;
(3)若,恒有,求滿足不等式的的取值集合.
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