【題目】定義在上的函數(shù)滿足對任意,,恒有,且不恒為0.
(1)求和的值;
(2)試判斷的奇偶性,并加以證明;
(3)若,恒有,求滿足不等式的的取值集合.
【答案】(1) ,;(2)詳見解析;(3) .
【解析】試題分析:本題為抽象函數(shù)問題,解決抽象函數(shù)的基本方法有兩種:一是賦值法,二是“打回原型”,賦值法是最常用的解題方法,巧妙的賦值可求出函數(shù)的特值,本題的第一步就是賦值法,發(fā)也可以判斷分別給x,y賦值1和就可求出所求函數(shù)值,給y賦值可判斷函數(shù)的奇偶性,利用可以證明函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及特殊點(diǎn)特殊值可以模擬出函數(shù)的圖象,在此基礎(chǔ)上可以解不等式.
試題解析:
(1)令,得,∴,
令,得,∴.
(2)令,由可得,
∵,∴,
又不恒為0,∴是偶函數(shù).
(3)若時(shí),恒有 ,此時(shí)為增函數(shù),
由,得,
由(2)知,,∴,
又∵在上為增函數(shù),∴,
∴.
∴的取值集合是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),在處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
①求的取值范圍;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),.
(Ⅰ)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若對于,總有.(i)求實(shí)數(shù)的范圍; (ii)求證:對于,不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,離心率為.
(Ⅰ)求該橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于, 兩點(diǎn)且,是否存在以原點(diǎn)為圓心的定圓與直線相切?若存在求出定圓的方程;若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,a≠1).
(1)設(shè)a=2,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[3,63],求f(x)的最值;
(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直三棱柱中, 分別是的中點(diǎn), 且,
(1)證明: .
(2)棱上是否存在一點(diǎn),使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為若存在,說明點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn),求a的取值范圍;
(2) 若函數(shù)在[-1,1]上存在零點(diǎn),求a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),若對任意的,總存在,使得,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓: 過橢圓: ()的短軸端點(diǎn), , 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn),且線段長度的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于, 兩點(diǎn),求的面積的最大值.
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