已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點（的位置有關，并證明你的結論；

(1)（或（；(2) （；(3) 的值與點的位置無關

解析試題分析：（1）注意要分類討論，頂點是短軸頂點，還是長軸頂點；(2)橢圓上到（距離最大的點是與直線（平行且與橢圓相切的點；（3）利用點P在橢圓上滿足橢圓方程，設點P坐標，帶入橢圓方程，通過變形，即可知（=，與k無關.
試題解析：（1）雙曲線（的左右焦點為（,即（的坐標分別為（.  所以設橢圓的標準方程為（,則（,
且（,所以（,從而（,
所以橢圓（的標準方程為（或（
(2) 當（時，（，故直線（的方程為（即（，
設與（平行的直線方程為：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入橢圓方程得：，
 ，∵求距離最大，∴，代入方程，解得：，∴點Q（；
（3）設則，即 
.所以的值與點的位置無關，恒為.
考點：（1）橢圓雙曲線的標準方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點，長軸的左、右端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點斜率為（）的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標原點.
（1）求橢圓的方程.
（2）設斜率為的直線與相交于、兩點，記面積的最大值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過點，其左、右頂點分別是、，左、右焦點分別是、，（異于、）是橢圓上的動點，連接交直線于、兩點,若成等比數(shù)列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段為直徑的圓過點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F和橢圓的右焦點重合,直線過點F交拋物線于A、B兩點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線交y軸于點M,且,m、n是實數(shù),對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設點P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經(jīng)過點A(2，2)，其焦點F在x軸上．

(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設過點M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點，ME＝2DM，記D和E兩點間的距離為f(m)，求f(m)關于m的表達式．

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