已知橢圓的焦距為，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標原點.
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點，記面積的最大值為，證明：.

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）利用題干中的已知條件分別求出、、，從而寫出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，借助韋達定理求出弦長，并求出原點到直線的距離，然后以為底邊，為高計算的面積，利用基本不等式驗證時和時的最大面積與，從而證明題中的結(jié)論.
試題解析：（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點，上頂點，
所以直線的斜率為，
解得，
由，得，
所以橢圓W的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，其中或，，.
由方程組得，
所以，（*）
由韋達定理，得，.
所以.
因為原點到直線的距離，
所以，
當(dāng)時，因為，
所以當(dāng)時，的最大值，
驗證知（*）成立；
當(dāng)時，因為，
所以當(dāng)時，的最大值；
驗證知（*）成立.
所以.
注：本題中對于任意給定的，的面積的最大值都是.
考點：1.橢圓的方程；2.弦長公式；2.點到直線的距離；4.基本不等式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點M

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；
(2)已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

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已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的短半軸長為，動點在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，
求證：線段的長為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當(dāng)，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；
（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.
（ⅰ）當(dāng)點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程，
并證明；
（ⅱ）求證：線段的長為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F(xiàn)1為左焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

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