已知橢圓的短半軸長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在直線（為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程；
（3）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于點(diǎn)，
求證：線段的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

（1），（2），(3) ．

解析試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，基本方法為待定系數(shù)法.由題意得及，因此可解得，.（2）圓的弦長(zhǎng)問題，通�；癁橹苯侨切�，即半徑、半弦長(zhǎng)、圓心到直線距離構(gòu)成一個(gè)直角三角形. 圓心為,圓心到直線的距離，因此，，所求圓的方程為． (3)涉及定值問題，一般通過計(jì)算，以算代證.本題有兩種算法，一是利用射影定理，只需求出點(diǎn)在上射影的坐標(biāo)，即由兩直線方程得，因此.二是利用向量坐標(biāo)表示，即設(shè)，根據(jù)兩個(gè)垂直，消去參數(shù)t,確定.
試題解析：（1）由點(diǎn)在直線上，得，
故， ∴． 從而．                 2分
所以橢圓方程為．                            4分
（2）以為直徑的圓的方程為．
即． 其圓心為,半徑．    6分
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b4/d/wxqbp1.png" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，
所以圓心到直線的距離．
所以，解得．所求圓的方程為．  9分
（3）方法一：由平幾知：，
直線，直線，
由得．
∴．
所以線段的長(zhǎng)為定值．                                     13分
方法二：設(shè)，
則．
．
又．
所以，為定值．                             13分
考點(diǎn)：橢圓方程，圓的弦長(zhǎng)，定值問題

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線，使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為，過右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線與相交于、兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)A（1，0）及圓，C為圓B上任意一點(diǎn)，求AC垂直平分線與線段BC的交點(diǎn)P的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交軸于點(diǎn)，若直線與過點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)為．證明：線段的長(zhǎng)為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)E：＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求證：△PF1F2的面積S＝b2tanθ.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓G：．過點(diǎn)(m，0)作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
(2)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

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