如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是橢圓上不同的三點，，，在第三象限，線段的中點在直線上．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設(shè)動點在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于，兩點，證明為定值并求出該定值．

(1)；(2)；(3)．

解析試題分析：(1)已知橢圓過兩點，可把兩點坐標代入方程列出關(guān)于的方程組，然后把分別作為整體，方程組就變?yōu)槎淮畏匠探M，從而可很快解得；(2)關(guān)鍵是線段的中點在直線上，可設(shè)，由線段中點為，而直線的方程可求得，代入可得的一個方程，點坐標代入橢圓方程又得另一方程，聯(lián)立可解得點坐標；(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法，設(shè)，在直線上，則，同理，
，下面我們想辦法把用表示出來，這可由共線，共線得到，這里要考查同學計算能力，只要計算正確，就能得出正確結(jié)論．
試題解析：（1）由已知，得解得       2分
所以橢圓的標準方程為．       3分
（2）設(shè)點，則中點為．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點在橢圓上，∴．②
由①②，解得（舍），，從而．       5分
所以點的坐標為．       6分
（3）設(shè)，，．
∵三點共線，∴，整理，得．       8分
∵三點共線，∴，整理，得．       10分
∵點在橢圓上，∴，．
從而．       14分
所以．       15分
∴為定值，定值為．       16分
考點：(1)橢圓的標準方程；(2)中點問題；(3)定值問題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個焦點為，離心率為．設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

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已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點，證明：點在一個定圓上.

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已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.
(1)求點P的軌跡方程；
(2)設(shè)點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長為r.
(ⅰ)求圓M的方程；
(ⅱ)當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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