已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn),且,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點(diǎn)Q(1,a),M,N為曲線E上不同的三點(diǎn),且,過M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線,記兩切線的交點(diǎn)為,求的最小值.

(1);(2).

解析試題分析:(1)設(shè),利用,用表示的坐標(biāo),然后利用,得到的方程,得到點(diǎn)軌跡;
(2)解法一:利用曲線方程,求出點(diǎn)坐標(biāo),設(shè),,通過聯(lián)立方程,得到的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù),列出過點(diǎn)的切線方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),然后再求的最小值,
解法二:利用導(dǎo)數(shù),列出過點(diǎn)的切線方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),然后結(jié)合,能夠得到關(guān)于點(diǎn)所滿足的方程,再求出的最小值.
試題解析:(1)解:設(shè)
,由     4分
(2)解法一:易知,設(shè),,,
設(shè)的方程為
聯(lián)立方程消去,得,所以.
同理,設(shè)的方程為,.      6分
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得,
所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,
所以切線的方程為,即.
同理,拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.     8分
聯(lián)立兩條切線的方程
解得,,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此點(diǎn)在直線上. 10分
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離
所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.
,得,驗(yàn)證知符合題意.
所以當(dāng)時(shí),有最小值.      12分
解法二:由題意,,設(shè),,
對(duì)函數(shù)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,且點(diǎn)在橢圓C上,又.
(1)求焦點(diǎn)F2的軌跡的方程;
(2)若直線與曲線交于M、N兩點(diǎn),以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P、Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)滿足:,動(dòng)點(diǎn)滿足
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),直線與直線分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn));
(i)試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系;
(ii)探究是否為定值?并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、,且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓方程;
(2)若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連接,交橢圓于點(diǎn),證明:為定值;
(3)在(2)的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過直線的交點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是橢圓上不同的三點(diǎn),,在第三象限,線段的中點(diǎn)在直線上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上(異于點(diǎn),,)且直線PBPC分別交直線OA,兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓E:的離心率為,過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓EA,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,直線交橢圓EC,D兩點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;
(2)求證:點(diǎn)M在直線上;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍?若存在,求出k的值;
若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),其左、右頂點(diǎn)分別是,左、右焦點(diǎn)分別是、,(異于、)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),連接交直線、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

(1)求此橢圓的離心率;
(2)求證:以線段為直徑的圓過點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案