已知定點與分別在軸、軸上的動點滿足：,動點滿足．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線分別交于點（為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

（1）；（2）（i）相切；（ii）為定值，且定值為0.證明過程見解析.

解析試題分析：（1）假設(shè)P點坐標，由，，經(jīng)向量的坐標運算，易得P的軌跡方程. （2）（i）A，B，兩點到準線的距離與到焦點距離相等，又是方程的準線，結(jié)合圖形，易得直線與圓相切. （ii）假設(shè)過F點的直線方程AB為 與拋物線方程聯(lián)立，求得A，B兩點坐標.寫出OA，OB所在直線方程，求出與的交點坐標，轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算，可知=0
試題解析：
解：（1）設(shè)動點的坐標為,則     1分
又，由得   2分
即亦即         3分
代入即得：動點的軌跡的方程為：    4分
（2）由（1）知動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線,設(shè)直線的方程為；點的坐標分別為.
(i)設(shè)兩點到準線的距離分別為,則,
設(shè)的中點到準線的距離為，          5分
則     7分
直線與以為直徑的圓相切.                8分
（注：直接運算得到正確結(jié)果同樣給分）
(ii)由得，          10分
的方程為，即由得點的坐標為，
同理可得點的坐標為，                     11分

于是          12分
因此為定值，且定值為0.                    13分
考點：拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系，向量的坐標運算.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點，連結(jié)、分別交直線于、兩點．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點點分別是軸和軸上的動點，且，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為E.
（1）求曲線E的方程；
（2）點Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點，且，過M,N兩點分別作曲線E的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結(jié)CM，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：()的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓C的方程
（2）若過點M（2,0）的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點G、H，設(shè)P為橢圓C上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數(shù)的取值范圍？

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