如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑，、是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

（1）；當(dāng)直線的方程為時(shí)，的面積取最大值.

解析試題分析：（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，先利用弦心距、半徑長(zhǎng)以及弦長(zhǎng)之間滿足的關(guān)系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長(zhǎng)
，然后根據(jù)直線與兩者所滿足的垂直關(guān)系設(shè)直線，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線截橢圓的弦長(zhǎng)，然后求出的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.
試題解析：（1）由題意得，橢圓的方程為；
（2）設(shè)、、，
由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，
故點(diǎn)到直線的距離為，又圓，，
又，直線的方程為，
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
，
設(shè)的面積為，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，
此時(shí)直線的方程為
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與圓、橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

 給定橢圓．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2，0)．
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若= 2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，.
（1）求拋物線E的方程；
（2）過拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點(diǎn)）三點(diǎn)共線，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)滿足：,動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過直線的交點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)， 為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

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