【題目】已知函數f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍;
(2)設函數g(x),證明:g(x)有極大值,且極大值小于.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)由已知可得,,構造函數,轉化為求解函數與的交點問題,結合函數的單調性即可求解.
(2)結合函數的導數與單調性的關系可證明的極值存在情況,然后結合函數的性質即可求解其范圍.
(1)由f(x)=lnx﹣ax=0可得,a,
令h(x),則h′(x),
當x∈(0,e)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,當x∈(e,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,
∵h(e),
x→0,h(x)→﹣∞,x→+∞,h(x)→0,
∴a;
(2)∵g(x),
∴g′(x),
令I(x)=1,則I(x)單調遞減,
當x→0時,I(x)→+∞,當x→+∞時,I(x)→﹣∞,
∴I(x)一定存在變號的零點,g(x)存在極大值,
令I(x0)=10,則g(x)在(0,x0)上單調遞增,在(x0,+∞)上單調遞減,
故極大值g(x0)a,
又∵I(3),
∴x0>3,又g(x0)在(0,+∞)上單調遞減
∴g(x0)<
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【題目】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標賽男子團體決賽中,中國隊與韓國隊相遇,中國隊男子選手A,B,C,D,E依次出場比賽,在以往對戰(zhàn)韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比賽勝負相互獨立.賽會釆用5局3勝制,先贏3局者獲得勝利.
(1)在決賽中,中國隊以3∶1獲勝的概率是多少?
(2)求比賽局數的分布列及數學期望.
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【題目】定義符號函數,已知,.
(1)求關于的表達式,并求的最小值.
(2)當時,函數在上有唯一零點,求的取值范圍.
(3)已知存在,使得對任意的恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知函數,為實數.
(1)討論在上的奇偶性;(只要寫出結論,不需要證明)
(2)當時,求函數的單調區(qū)間;
(3)當時,求函數在上的最大值.
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【題目】已知橢圓方程為.
(1)設橢圓的左右焦點分別為、,點在橢圓上運動,求的值;
(2)設直線和圓相切,和橢圓交于、兩點,為原點,線段、分別和圓交于、兩點,設、的面積分別為、,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,且側棱 其中為的交點.
(1)求點到平面的距離;
(2)在線段上,是否存在一個點,使得直線與垂直?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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