Question

【題目】已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過點

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞減；（2）.

【解析】試題分析：

(1)對函數(shù)進行求導，結合導函數(shù)與切線的關系求得 實數(shù) 的值，確定函數(shù)的解析式之后即可討論函數(shù)的單調性.

(2)分離系數(shù)后討論 的取值范圍即可，構造新函數(shù)后求導，討論新函數(shù)的值域，注意討論值域時利用反證法假設存在實數(shù) 滿足 ，由得出的矛盾知假設不成立，即函數(shù)的最小值開區(qū)間處為 .

試題解析：

（1）由題意得

∴，

∴在處的切線方程為

即，

∵點在該切線上，∴，

∴

函數(shù)在單調遞減；

（2）由題意知且，

原不等式等價于，

設，

由（1）得在單調遞減，且，

當時， ；當時， ；

∴，

假設存在正數(shù)，使得，

若，當時， ；

若，當時， ；

∴不存在這樣的正數(shù)，使得，∴的值域為

∴的取值范圍為.