Question

【題目】已知圓的一條直角是橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線，當(dāng)過橢圓上一點(diǎn)且與圓相交于點(diǎn)時(shí)，弦的最小值為.

（1）求圓即橢圓的方程；

（2）若直線是橢圓的一條切線，是切線上兩個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？如果存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）過定點(diǎn)與.

【解析】試題分析:（1）先根據(jù)垂徑定理求半徑，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上解得，（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)條件，再聯(lián)立切線方程與橢圓方程，根據(jù)判別式為零得等量關(guān)系，代入并化簡(jiǎn)可得，即得結(jié)論

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，最小，，

由已知，可知，

又點(diǎn)在橢圓上上，

綜上，圓的方程為，

橢圓的方程為.

（2）聯(lián)立方程，得到，由與橢圓相切，得到，①

易知，設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過，設(shè)則有，

而，②

由①②可知， ，

要使上式成立，有只有當(dāng)，故經(jīng)過定點(diǎn)與.