Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

表中 ，

（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

(ⅰ)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

(ⅱ)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

，

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)散點圖，即可判斷出結(jié)論，建立線性回歸方程，求出d、c的值；

（Ⅱ）先建立中間量，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）計算年銷售量y的預(yù)報值與利潤值；

（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果求出年利潤z的函數(shù)，求出年利潤的最大值．

(Ⅰ)由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．

(Ⅱ)令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程．

由于，，

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為，

因此y關(guān)于x的回歸方程為.

(Ⅲ)（i）由(Ⅱ)知， 當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值，

年利潤z的預(yù)報值.

（ii）根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值.

所以當(dāng)，即x＝46.24時， 取得最大值．

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大．