Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:（1）由得，求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)性，即得最小值，最后利用導(dǎo)數(shù)得最小值函數(shù)單調(diào)性，確定最小值大于零恒成立（2）先根據(jù)零點(diǎn)條件解得，根據(jù)零點(diǎn)存在條件得范圍，再化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，求得最小值，即證得不等式

試題解析：(1)∵，

∴當(dāng)時(shí)， ，不符合題意，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)遞增，

，此時(shí)遞減，

∴，

而是增函數(shù)， ，∴.

(2)設(shè)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，

∵，

∴當(dāng)時(shí)， ，則遞減，至多1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)遞增；

，此時(shí)遞減；

∴，解得；

此時(shí)，又，∴，不妨設(shè)，

由，兩式相減得，

則，

設(shè)，則，下證；

設(shè)，則，

∴在上遞增，那么，

所以，從而，

又∵，∴，故.