Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若的值域為，求的值；

(Ⅱ)巳，是否存在這祥的實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，

【解析】

（1）的值域為，則函數(shù)必須是開口向上、與軸有唯一交點的二次函數(shù).可以求出的值.

（2）已知某函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)問題，函數(shù)零點問題可以轉(zhuǎn)化為方程根或者通過轉(zhuǎn)化變成兩圖象交點個數(shù)問題.本題中令 ，則它的圖象非常熟悉，而在∈的圖象則需要考慮是否是二次函數(shù)，當確定是二次函數(shù)時，考慮函數(shù)的開口方向，對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系（為了更好的研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，便于考慮它的性質(zhì)）.

(Ⅰ)函數(shù)的值域為，則，解得.

(Ⅱ)由，

即

令，，∈，原命題等價于兩個函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.

(1)當時，在上遞減，在上遞增，

而g(1)=1>0=h(1)，g(2)=-1<1=h(2)，

∴函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.

(2)當時，圖象開口向下，對稱軸為，在上遞減，

在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點，

當且僅當，即即.

∴

(3)當時，圖象開口向上，對稱軸為，在上遞減，在上遞增，與的圖象在內(nèi)有唯一交點，

，即即，

∴.

綜上，存在實數(shù)，使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個點.