【題目】如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形， 為的中點，側(cè)棱，點在上，點在上，且， .

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平幾知識得，由線面垂直得，最后根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系確定二面角的余弦值.

試題解析：（1）∵是等邊三角形， 為的中點，

∴，∴平面，得.①

在側(cè)面中，

， ，

∴，

∴，∴.②

結(jié)合①②，又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面

（2）解法一：如圖建立空間直角坐標系.

則， ， .

得， ，

設平面的法向量，則

即得取.

同理可得，平面的法向量

∴

則二面角的余弦值為.

解法二：由（1）知平面，∴， .

∴即二面角的平面角

在平面中，易知，∴，

設，∵

∴，解得.

即，∴

則二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙二人用4張撲克牌分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．

寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況；

甲乙約定，若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則乙勝，你認為此約定是否公平？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若， 是橢圓上兩個不同的動點，且使的角平分線垂直于軸，試判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓：和點，動圓經(jīng)過點且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

(Ⅰ)求曲線的方程；

(Ⅱ)四邊形的頂點在曲線上，且對角線均過坐標原點，若 .

(i) 求的范圍；(ii) 求四邊形的面積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司計劃在辦公大廳建一面長為米的玻璃幕墻.先等距安裝根立柱，然后在相鄰的立柱之間安裝一塊與立柱等高的同種規(guī)格的玻璃.一根立柱的造價為6400元，一塊長為米的玻璃造價為元.假設所有立柱的粗細都忽略不計，且不考慮其他因素，記總造價為元（總造價=立柱造價+玻璃造價）.

（1）求關于的函數(shù)關系式；

（2）當時，怎樣設計能使總造價最低？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若當時， 恒成立，求的取值范圍；

（2）設，若對恒成立，求的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示

（1）求的解析式；

（2）求的單調(diào)增區(qū)間，并指出的最大值及取到最大值時的集合；

（3）把的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， ，點是中點.

（1）求證： ；

（2）若， ， ，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是

（1）對于命題使得，則都有；

（2）已知，則

（3）已知回歸直線的斜率的估計值是2，樣本點的中心為（4,5），則回歸直線方程為；

（4）“”是“”的充分不必要條件.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

同步練習冊答案