【題目】已知等軸雙曲線:的右焦點為,為坐標原點,過作一條漸近線的垂線且垂足為,.
(1)求等軸雙曲線的方程;
(2)若過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點,求的值;
(3)假設(shè)過點的動直線與雙曲線交于、兩點,試問:在軸上是否存在定點,使得為常數(shù),若存在,求出的坐標,若不存在,試說明理由.
【答案】(1);(2);(3)定點.
【解析】
(1)根據(jù)雙曲線焦點到漸近線的距離為和等軸雙曲線的性質(zhì),求得等軸雙曲線的方程.
(2)由直線的方向向量求得直線的斜率,由此寫出直線的方程.聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,寫出韋達定理,求得,,由此求得的值.
(3)設(shè),設(shè)出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,寫出韋達定理,代入進行化簡,結(jié)合為常數(shù)列方程,解方程求得點的坐標.
(1)雙曲線焦點到漸近線的距離為,所以,所以等軸雙曲線的方程為.且.
(2)由于直線的方向行向量為,所以直線的斜率為,而,所以:,與聯(lián)立方程并化簡得,可得,,
即.
(3)設(shè)點.依題意可知直線與不平行,設(shè)直線,與聯(lián)立方程有,
可得,,∴,,
,要為定值,
需滿足,∴,即定點.
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【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程.
(1)若是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率;
(2)若是從區(qū)間上任取的一個數(shù),是從區(qū)間上任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.
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【題目】已知甲、乙、丙三位同學(xué)在某次考試中總成績列前三名,有,,三位學(xué)生對其排名猜測如下::甲第一名,乙第二名;:丙第一名;甲第二名;:乙第一名,甲第三名.成績公布后得知,,,三人都恰好猜對了一半,則第一名是__________.
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【題目】已知F為拋物線的焦點,過F且傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點,.
(1)求拋物線的方程:
(2)已知為拋物線上一點,M,N為拋物線上異于P的兩點,且滿足,試探究直線MN是否過一定點?若是,求出此定點;若不是,說明理由.
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【題目】已知半圓:,、分別為半圓與軸的左、右交點,直線過點且與軸垂直,點在直線上,縱坐標為,若在半圓上存在點使,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為,直線l的方程為:
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線l與橢圓相交于、兩點
①若線段中點的橫坐標為,求斜率的值;
②已知點,求證:為定值
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【題目】(本題滿分12分)袋中裝有黑色球和白色球共7個,從中任取2個球都是白色球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后終止.每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的,用X表示摸球終止時所需摸球的次數(shù).
(1)求隨機變量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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【題目】已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6<0},B{x||x-2|≥1}.
(1)若a=1,求(UA)B;
(2)求不等式a2x2-5ax-6<0(a∈R)的解集.
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【題目】2014年7月18日15時,超強臺風(fēng)“威馬遜”登陸海南省.據(jù)統(tǒng)計,本次臺風(fēng)造成全省直接經(jīng)濟損失119.52億元,適逢暑假,小明調(diào)查住在自己小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,作出如下頻率分布直方圖:
經(jīng)濟損失4000元以下 | 經(jīng)濟損失4000元以上 | 合計 | |
捐款超過500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合計 |
(1)臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如上表,在表格空白處填寫正確數(shù)字,并說明是否有以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)?
(2)臺風(fēng)造成了小區(qū)多戶居民門窗損壞,若小區(qū)所有居民的門窗均由李師傅和張師傅兩人進行維修,李師傅每天早上在7:00到8:00之間的任意時刻來到小區(qū),張師傅每天早上在7:30到8:30分之間的任意時刻來到小區(qū),求連續(xù)3天內(nèi),李師傅比張師傅早到小區(qū)的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:臨界值表
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
參考公式:,.
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