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【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內一點Mx軸的垂線交其“輔助圓”于點N,當點N在點M的下方時,稱點N為點M的“下輔助點”.已知橢圓上的點的下輔助點為(1,﹣1).

1)求橢圓E的方程;

2)若△OMN的面積等于,求下輔助點N的坐標;

3)已知直線lxmyt0與橢圓E交于不同的A,B兩點,若橢圓E上存在點P,使得四邊形OAPB是對邊平行且相等的四邊形.求直線l與坐標軸圍成的三角形面積最小時的m2+t2的值.

【答案】1y21;(2)(, 或(,);(33

【解析】

1)由橢圓過的點的坐標和輔助圓x2+y2a2過的坐標,代入可得a,b的值,進而求出橢圓的方程;

2)設N的坐標和M的坐標,代入橢圓和輔助圓求出NM的坐標的關系,進而求出△OMN的面積SOMNx0y1y0,則x0y1和,y121,聯立求出下輔助點N的坐標;

3)設A,B的坐標將直線AB的方程與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積,求出AB的中點坐標,因為四邊形OAPB是對邊平行且相等,即四邊形OAPB恰好為平行四邊形,所以.所以三角形OAB面積為,當且僅當m22,t21時取等號,進而可得m2+t2的值為3

1)因為橢圓E1,過點(1),輔助圓x2+y2a2過(1,1),所以可得a212+(﹣122,

所以橢圓的實半軸長的平方a22

所以1,解得:b21

∴橢圓E的方程為:y21;

2)設點Nx0,y0),(y00),則由題意可得點Mx0y1),(y10),將兩點坐標分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得,x02+y022,y121,

y022y12,即y0,

SOMNx0y1y0,則x0y1

聯立,可解得,∴下輔助點N 的坐標為(, 或(,);

3)由題意可設Ax1,y1),Bx2,y2).

聯立整理得(m2+2y2+2mty+t220

則△=8m2+2t2)>0

根據韋達定理得,

因為四邊形OAPB是對邊平行且相等,即四邊形OAPB恰好為平行四邊形,

所以.所以,

因為點P在橢圓E 上,所以

整理得,即4t2m2+2,

在直線lxmyt0中,由于直線l與坐標軸圍成三角形,則t0m0

x0,得,令y0,得xt

所以三角形OAB面積為,

當且僅當m22,t21時,取等號,此時△=240.且有m2+t23,

故所求m2+t2 的值為3

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