Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，且，在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度）中，曲線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與曲線交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求證：不論為何值時(shí)，為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直角坐標(biāo)為，；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意,令直線的參數(shù)方程中即可求出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，整理化簡(jiǎn)曲線的極坐標(biāo)方程,結(jié)合,即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程;

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義,利用韋達(dá)定理即可證明為定值.

（Ⅰ）因?yàn)橹本�的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)，且，

所以當(dāng)時(shí)，得點(diǎn)，即點(diǎn)的直角坐標(biāo)為；

又曲線的極坐標(biāo)方程為，

，，

，，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（Ⅱ）證明：將直線的參數(shù)方程代入，

整理得，其中，

所以判別式△，

由韋達(dá)定理可得,，，

由參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得,

，

即不論為何值時(shí)，都為定值1．