【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線的斜率為2的切線方程；

（2）證明：；

（3）確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得存在,當(dāng)時(shí),恒有．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，按照點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；

(2)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可證明不等式；

(3)分類討論，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出不滿足題意；當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

由得.

令，即，得，（舍）．

又，

所以曲線的斜率為２的切線方程為

（2）設(shè)，則

.

令得，（舍）．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以.

所以.

（3）由（2）可知，

① 當(dāng)時(shí)，，

所以不存在，當(dāng)時(shí)，恒有；

所以不符合題意.

②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，

所以不存在，當(dāng)時(shí)，恒有；

所以不符合題意.

③當(dāng)時(shí)，設(shè).

因?yàn)?/span>，

令即.

因?yàn)?/span>，

解得.

又因?yàn)?/span>，

所以.

取.

當(dāng)時(shí)，；

所以在上單調(diào)遞增.

所以.

即.

所以符合題意.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0（n0≥3），所有項(xiàng)之和是B，求證：數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”，并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”；

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