【題目】在邊長為的等邊三角形中,點分別是邊上的點,滿足且,將沿直線折到的位置. 在翻折過程中,下列結(jié)論成立的是( )
A.在邊上存在點,使得在翻折過程中,滿足平面
B.存在,使得在翻折過程中的某個位置,滿足平面平面
C.若,當(dāng)二面角為直二面角時,
D.在翻折過程中,四棱錐體積的最大值記為,的最大值為
【答案】D
【解析】
利用反證法可證明A、B錯誤,當(dāng)且二面角為直二面角時,計算可得,從而C錯誤,利用體積的計算公式及放縮法可得,從而可求的最大值為,因此D正確.
對于A,假設(shè)存在,使得平面,
如圖1所示,
因為平面,平面平面,故,
但在平面內(nèi),是相交的,
故假設(shè)錯誤,即不存在,使得平面,故A錯誤.
對于B,如圖2,
取的中點分別為,連接,
因為為等邊三角形,故,
因為,故
所以均為等邊三角形,故,,
因為,,,故共線,
所以,因為,故平面,
而平面,故平面平面,
若某個位置,滿足平面平面,則在平面的射影在上,也在上,故在平面的射影為,所以,
此時,這與矛盾,故B錯誤.
對于C,如圖3(仍取的中點分別為,連接)
因為,所以為二面角的平面角,
因為二面角為直二面角,故,所以,
而,故平面,因平面,故.
因為,所以.
在中,,
在中,,故C錯.
對于D,如圖4(仍取的中點分別為,連接),
作在底面上的射影,則在上.
因為,所以且,所以其.
又
,
令,則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,.
所以在為增函數(shù),在為減函數(shù),故.
故D正確.
故選:D.
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【題目】(1)取何值時,方程()無解?有一解?有兩解?有三解?
(2)函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等,請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞颍芯亢瘮?shù)的性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上,作出其在的草圖;
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【題目】
(本題滿分15分)已知m>1,直線,
橢圓,分別為橢圓的左、右焦點.
(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點時,求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點,,
的重心分別為.若原點在以線段
為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,△ABC為一個等腰三角形形狀的空地,腰CA的長為3(百米),底AB的長為4(百米).現(xiàn)決定在該空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF(寬度不計),將該空地分成一個四邊形和一個三角形,設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S1和S2.
(1) 若小路一端E為AC的中點,求此時小路的長度;
(2) 求的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線的斜率為2的切線方程;
(2)證明:;
(3)確定實數(shù)的取值范圍,使得存在,當(dāng)時,恒有.
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【題目】已知,給定個整點,其中.
(Ⅰ)當(dāng)時,從上面的個整點中任取兩個不同的整點,求的所有可能值;
(Ⅱ)從上面個整點中任取個不同的整點,.
(i)證明:存在互不相同的四個整點,滿足,;
(ii)證明:存在互不相同的四個整點,滿足,.
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【題目】橢圓的焦點是,,且過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過左焦點的直線與橢圓相交于、兩點,為坐標(biāo)原點.問橢圓上是否存在點,使線段和線段相互平分?若存在,求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,過橢圓E的左焦點且與x軸垂直的直線與橢圓E相交于的P,Q兩點,O為坐標(biāo)原點,的面積為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)點M,N為橢圓E上不同兩點,若,求證:的面積為定值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線上與C交于A,B兩點,是否存在l,使得點在以AB為直徑的圓外.若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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