Question

【題目】已知，給定個整點,其中.

（Ⅰ）當時,從上面的個整點中任取兩個不同的整點，求的所有可能值；

（Ⅱ）從上面個整點中任取個不同的整點，.

（i）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,；

（ii）證明：存在互不相同的四個整點，滿足,.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）詳見解析；（ii）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）列出所有的整點后可得的所有可能值.

（Ⅱ）對于（i），可用反證法，對于（ii），可設直線上選擇了個的點，計算可得諸直線上不同兩點的橫坐標和的不同個數的最小值為，結合中任意不同兩項之和的不同的值恰有個可得至少有一個和出現兩次，從而可證結論成立.

解:（Ⅰ）當時，4個整點分別為.

所以的所有可能值.

（Ⅱ）（i）假設不存在互不相同的四個整點，

滿足.

即在直線中至多有一條直線上取多于1個整點，其余每條直線上至多取一個整點， 此時符合條件的整點個數最多為.

而，與已知矛盾.

故存在互不相同的四個整點，滿足.

（ii）設直線上有個選定的點.

若，設上的這個選定的點的橫坐標為，且滿足.

由，

知中任意不同兩項之和至少有個不同的值，這對于也成立.

由于中任意不同兩項之和的不同的值恰有個，

而,

可知存在四個不同的點，

滿足.