【題目】如果存在常數a,使得數列{an}滿足:若x是數列{an}中的一項,則a-x也是數列{an}中的一項,稱數列{an}為“兌換數列”,常數a是它的“兌換系數”.
(1)若數列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數”為a的“兌換數列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數列{bn}的項數是n0(n0≥3),所有項之和是B,求證:數列{bn}是“兌換數列”,并用n0和B表示它的“兌換系數”;
(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數的遞增數列{cn},是否有可能它既是等比數列,又是“兌換數列”?給出你的結論,并說明理由.
【答案】(1)a=9,m=7;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)利用“兌換數列”的定義得到a-m=2,a-6=3,即a=9,m=7.(2)利用“兌換數列”的定義可證明數列{bn}是“兌換數列”, 又因為數列{bn}所有項之和是B,所以B==,即a=;(3)假設存在這樣的等比數列{cn},設它的公比為q(q>1),通過推理得到q=1,與q>1矛盾,故不存在滿足條件的數列{cn}.
(1)解:因為2,3,6,m(m>6)是“兌換系數”為a的“兌換數列”
所以a-m,a-6,a-3,a-2也是該數列的項,且a-m<a-6<a-3<a-2,
故a-m=2,a-6=3,即a=9,m=7.
(2)證明:設數列{bn}的公差為d,
因為數列{bn}是項數為n0項的有窮等差數列
若b1≤b2≤b3≤…≤,則a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-,
即對數列{bn}中的任意一項bi(1≤i≤n0),a-bi=b1+(n0-i)d=+1-i∈{bn}
同理可得:b1≥b2≥b3≥…≥,a-bi=b1+(n0-i)d=+1-i∈{bn}也成立,
由“兌換數列”的定義可知,數列{bn}是“兌換數列”;
又因為數列{bn}所有項之和是B,所以B==,即a=;
(3)解:假設存在這樣的等比數列{cn},設它的公比為q(q>1),
因為數列{cn}為遞增數列,所以c1<c2<c3<…<cn,則a-c1>a-c2>a-c3>…>a-cn,
又因為數列{cn}為“兌換數列”,則a-ci∈{cn},所以a-ci是正整數
故數列{cn}必為有窮數列,不妨設項數為n項,則ci+cn+1-i=a(1≤i≤n)
①若n=3,則有c1+c3=a,c2=,又c22=c1c3,由此得q=1,與q>1矛盾
②若n≥4,由c1+cn=c2+cn-1,得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0
即(q-1)(1-qn-2)=0,故q=1,與q>1矛盾;
綜合①②得,不存在滿足條件的數列{cn}.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,EA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為等腰梯形,,且,AD=AE=1,∠ABC=60°,EF=AC,且EFAC.
(Ⅰ)證明:AB⊥CF;
(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
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【題目】已知函數f(x)=ln+ax﹣1(a≠0).
(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)已知g(x)+xf(x)=﹣x,若函數g(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),求證:g(x1)<0.
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【題目】已知橢圓:的左、右點分別為點在橢圓上,且
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(1,0)作斜率為的直線交橢圓于M、N兩點,若求直線的方程;
(3)點P、Q為橢圓上的兩個動點,為坐標原點,若直線的斜率之積為求證:為定值.
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【題目】如圖,已知橢圓:,左頂點為,經過點,過點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為的中點,,證明:對于任意的都有恒成立;
(3)若過點作直線的平行線交橢圓于點,求的最小值.
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【題目】統(tǒng)計學中將個數的和記作
(1)設,求;
(2)是否存在互不相等的非負整數,,使得成立,若存在,請寫出推理的過程;若不存在請證明;
(3)設是不同的正實數,,對任意的,都有,判斷是否為一個等比數列,請說明理由.
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【題目】甲乙兩人分別投擲兩顆骰子與一顆骰子,設甲的兩顆骰子的點數分別為與,乙的骰子的點數為,則擲出的點數滿足的概率為________(用最簡分數表示).
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【題目】某社會機構為了調查對手機游戲的興趣與年齡的關系,通過問卷調查,整理數據得如下列聯(lián)表:
(1)根據列聯(lián)表,能否有的把握認為對手機游戲的興趣程度與年齡有關?
(2)若已經從40歲以上的被調查者中用分層抽樣的方式抽取了10名,現(xiàn)從這10名被調查者中隨機選取3名,記這3名被選出的被調查者中對手機游戲很有興趣的人數為,求的分布列及數學期望.
附:
參考數據:
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