Question

【題目】過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為 ，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，若 的面積為 .

（ 1 ） 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（ 2 ） 過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】(1).

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）由題意可得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè)與拋物線方程聯(lián)立可得，結(jié)合切線方程可得，，則，.

詳解：（1）因?yàn)?/span>，所以到準(zhǔn)線的距離即為三角形的中位線的長(zhǎng)，所以，

根據(jù)拋物線的定義，所以，

，

，

解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè)

聯(lián)立消去得，得，

，設(shè)，

，

，

得點(diǎn)坐標(biāo)，

由，得，

,

所以，即.