Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最小值；

（3）已知圓的圓心為，且圓與軸相切，若圓與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .(3).

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，及動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，代入化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

（2）根據(jù)（1）中求的軌跡方程，判斷出點(diǎn)在圓內(nèi)，則當(dāng)直線滿足時(shí)MN的值最小，根據(jù)垂徑定理即可求得最小值。

（3）表示出圓Q的方程，根據(jù)兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的條件，可知兩個(gè)圓的圓心距滿足，解不等式即可求得t的取值范圍。

（1）由題意知：設(shè)

則，即，

所以，

整理得.

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）由（1）知軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓.

又因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，，

所以圓心到直線的距離為，

此時(shí)，線段的長(zhǎng)為，

所以，線段長(zhǎng)度的最小值為.

（3）因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，且圓與軸相切，所以圓的半徑為，

所以，圓的方程為.

因?yàn)�，圓與圓有公共點(diǎn)，

又圓與圓的兩圓心距離為

，

所以，

即，

解得：.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.