【題目】對(duì)于在某個(gè)區(qū)間上有意義的函數(shù),如果存在一次函數(shù)使得對(duì)于任意的,有恒成立,則稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)弱漸近函數(shù).

1)若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)弱漸近函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)證明:函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的弱漸近函數(shù);

3)試問:函數(shù)與函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上是否存在相同的弱漸近函數(shù)?如果存在,請(qǐng)求出對(duì)應(yīng)的弱漸近函數(shù)應(yīng)滿足的條件;如不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1;(2)見解析;(3)存在,,其中.

【解析】

1)由弱漸近函數(shù)的定義得出,由此可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)當(dāng)時(shí),利用分子有理化結(jié)合放縮法證明出,結(jié)合弱漸近函數(shù)的定義可證明結(jié)論成立;

3)假設(shè)存在滿足題意的弱漸近函數(shù),根據(jù)弱漸近函數(shù)的定義得出,可求得以及實(shí)數(shù)所滿足的不等式組,解出即可得出滿足題意的若漸近函數(shù)的解析式.

1)依題意,當(dāng)時(shí),恒成立,

恒成立,故,所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是;

2)當(dāng)時(shí),

,

,.

,得證;

3)假設(shè)存在滿足題意的弱漸近函數(shù)

,

,由于當(dāng)時(shí),,故,

但是,當(dāng)時(shí),,故,

不符合“恒成立”的要求,所以,

此時(shí),則,

解得:

,

當(dāng)時(shí),,故,

,解得:.

綜上所述,函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上存在相同的弱漸近函數(shù),對(duì)應(yīng)的弱漸近函數(shù)是,其中.

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