【題目】已知,函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

Ⅰ)若,證明:曲線沒有經(jīng)過點(diǎn)的切線;

Ⅱ)若函數(shù)在其定義域上不單調(diào),求的取值范圍;

Ⅲ)是否存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在軸的上方,若存在,求的值;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)答案見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線方程,化簡得: ,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷方程無解,從而證明結(jié)論即可;(Ⅱ)分離參數(shù),得,令根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的范圍即可;(Ⅲ)問題等價(jià)于,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值,從而證明結(jié)論即可;

試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?/span>,所以,此時(shí)

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)

則曲線在點(diǎn)處的切線

所以

化簡得:

,則,

所以當(dāng)時(shí), 為減函數(shù),

當(dāng)時(shí), , 為增函數(shù),

所以,

所以無解

所以曲線的切線都不經(jīng)過點(diǎn)

Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>,

所以在定義域上不單調(diào),等價(jià)于有變號(hào)零點(diǎn),

,得,令).

因?yàn)?/span>,令 ,

所以上的減函數(shù),又,故的唯一零點(diǎn),

當(dāng), , , 遞增;

當(dāng), , , 遞減;

故當(dāng)時(shí), 取得極大值且為最大值

所以,即的取值范圍是

Ⅲ)函數(shù)的圖象在軸的上方,即對(duì)任意 恒成立.

.令),

所以

1)當(dāng)時(shí), ,即

①當(dāng)時(shí), 是減函數(shù),所以;

②當(dāng)時(shí), ,

,則,所以是增函數(shù),

所以當(dāng)時(shí), ,即

所以上是增函數(shù),所以,

當(dāng)時(shí),取,且使,即,

,

因?yàn)?/span>,故存在唯一零點(diǎn),

有唯一的極值點(diǎn)且為最小值點(diǎn)

所以,又,即,

,設(shè)

因?yàn)?/span>,所以上的減函數(shù),

所以,即

所以當(dāng)時(shí),對(duì)任意, 恒成立

2)當(dāng)時(shí), ,因?yàn)?/span>,取,

, ,

所以不恒成立,

綜上所述,存在正整數(shù)滿足要求,即當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在軸的上方

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某同學(xué)用五點(diǎn)法畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0ω>0,||<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:

ωx+

0

π

2π

x

Asin(ωx+)

0

5

-5

0

1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并求出函數(shù)f(x)的解析式;

2)將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若關(guān)于x的方程g(x)-m=0在區(qū)間[0,]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;

(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓,如圖所示點(diǎn)為橢圓上任意三點(diǎn).

Ⅰ)若,是否存在實(shí)數(shù),使得代數(shù)式為定值.若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,說明理由.

Ⅱ)若,求三角形面積的最大值;

Ⅲ)滿足(Ⅱ),且在三角形面積取得最大值的前提下,若線段與橢圓長軸和短軸交于點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)).判斷四邊形的面積是否為定值.若是,求出定值;若不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;

(2)計(jì)算甲班的樣本方差;

(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一,作為一種鏤空藝術(shù),它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國南北方的剪紙藝術(shù),通過一把剪刀、一張紙、就可以表達(dá)生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長為1的正方形剪紙圖案,中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍,若在正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率為(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知多面體,,均垂直于平面ABC,,

1)證明:平面;

2)求平面與平面所成的銳角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在梯形ABCD中,DCAB,DCCBEAB的中點(diǎn),且AB=2BC=2CD=4(如圖所示),將ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖所示),F是線段AD上一點(diǎn),且AF=2DF

(Ⅰ)求四棱錐A-BCDE的體積;

(Ⅱ)在線段BE上是否存在一點(diǎn)G,使EF∥平面ACG?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案