【題目】已知橢圓的焦距為4．且過點(diǎn)．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)，，，過B點(diǎn)且斜率為的直線l交橢圓E于另一點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)Q，直線AM與直線相交于點(diǎn)P．證明：（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的定義即可求出，然后根據(jù)求出，即可得到橢圓E的方程（或直接根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，以及，即可解出）；

（2）由直線l的方程可得點(diǎn)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程可計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)聯(lián)立直線與直線的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)斜率公式分別計(jì)算出直線的斜率，根據(jù)斜率相等，即可證得．

（1）由題可知，，，

橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．

由橢圓的定義知，

，，

橢圓E的方程為．

（另解：由題可知，解得）．

（2）易得，，，

直線與橢圓聯(lián)立，得，

，從而，．

直線AM的斜率為，直線AM的方程為．

令，得，

直線PQ的斜率．

直線OC的斜率，

，從而．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】角谷猜想，也叫猜想，是由日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫發(fā)現(xiàn)的，是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2，如此循環(huán)最終都能夠得到1．如：取，根據(jù)上述過程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9個(gè)數(shù)．若，根據(jù)上述過程得出的整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．

（1）設(shè)直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為，，為圓上的任意一點(diǎn)，求的最大值．

（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線交圓于，兩點(diǎn)，求的值．

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【題目】中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，“二十四節(jié)氣”歌是以“春、夏、秋、冬”開始的四句詩(shī)，2016年11月30日，“二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國(guó)教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，也被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”．某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問“二十四節(jié)氣”歌，只能說(shuō)出春夏兩句的有45人，能說(shuō)出春夏秋三句及其以上的有32人，據(jù)此估計(jì)該校三年級(jí)的500名學(xué)生中，對(duì)“二十四節(jié)氣”歌只能說(shuō)出第一句“春”或一句也說(shuō)不出的大約有（ ）

A.69人B.84人C.108人D.115人

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【題目】已知A（0，2），B（0，﹣2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足PA，PB的斜率之積為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）已知直線l：y＝kx+m，C的右焦點(diǎn)為F，直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，若F是△AMN的垂心，求直線l的方程．

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【題目】2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國(guó)家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調(diào)派醫(yī)務(wù)工作者前去支援，正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團(tuán)圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對(duì)這5人隨機(jī)進(jìn)行逐一“核糖核酸”檢測(cè)，只要出現(xiàn)一例陽(yáng)性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”．假設(shè)每人被確診的概率均為且相互獨(dú)立，若當(dāng)時(shí)，至少檢測(cè)了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值，則____．

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（1）從頻率分布直方圖中估計(jì)該40位居民月均用水量的眾數(shù)，中位數(shù)；

（2）在該樣本中月均用水量少于1噸的居民中隨機(jī)抽取兩人，其中兩人月均用水量都不低于0.5噸的概率是多少？

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（1）當(dāng)b＝﹣1時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)a＋b＝1時(shí)，函數(shù)的最小值為2，求a的值；

（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，b，證明：存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

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【題目】如圖，在三棱柱中，，，、分別為和的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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