Question

【題目】已知A（0，2），B（0，﹣2），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足PA，PB的斜率之積為．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）已知直線l：y＝kx+m，C的右焦點(diǎn)為F，直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，若F是△AMN的垂心，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）1（x≠0）；（2）y＝x．

【解析】

（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足PA，PB的斜率之積為，可得P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，且橫坐標(biāo)不為0，求出P的軌跡方程；

（2）由（1）可得右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得兩根之和及兩根之積，由F是△AMN的垂心可得AF⊥MN，NF⊥AM，可得m的值．

（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足PA，PB的斜率之積為，

所以（x≠0），

整理可得1，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程：1（x≠0）；

（2）由（1）可得右焦點(diǎn)F（2，0），可得kAF1，

因?yàn)?/span>F為垂心，

所以直線MN的斜率為1，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立直線l與橢圓的方程：，整理得：3x2+4mx+2m2﹣8＝0，

△＝16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，即m2＜12，

x1+x2，x1x2，

因?yàn)?/span>AM⊥NF，

所以kAMkNF＝﹣1，即1，

整理可得y2（y1﹣2）+x1（x2﹣2）＝0，

即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2y2＝0，

即y1y2+x1x2﹣2x1﹣2（x2+m）＝0，

整理可得y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）﹣2m＝0，

而y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2

所以22m0，

解得m或m＝2（舍），

所以直線l的方程為：y＝x．