【題目】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由分別為，的中點，，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；

（2）連接，先求證四邊形是平行四邊形，根據(jù)幾何關系求得，在截取，由（1）平面，可得為與平面所成角，即可求得答案.

（1）分別為，的中點，

又

在中，為中點，則

又側面為矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）連接

平面，平面平面

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面平面，面平面

故：四邊形是平行四邊形

設邊長是()

可得：，

為的中心，且邊長為

故：

解得：

在截取，故

且

四邊形是平行四邊形，

由（1）平面

故為與平面所成角

在，根據(jù)勾股定理可得：

直線與平面所成角的正弦值：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若將曲線（為參數(shù)）上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求a的值.

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【題目】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

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【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調性．

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【題目】在平面直角坐標系中，已知，動點滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若點M為（1）中軌跡上一動點，，直線MA與的另一個交點為N；記，若t值與點M位置無關，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”.是否存在 “穩(wěn)定點”？若存在，求出該點；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ當時，取得極值，求的值并判斷是極大值點還是極小值點；

Ⅱ當函數(shù)有兩個極值點，，且時，總有成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知經過圓上點的切線方程是.

（1）類比上述性質，直接寫出經過橢圓上一點的切線方程；

（2）已知橢圓，P為直線上的動點，過P作橢圓E的兩條切線，切點分別為AB，

①求證：直線AB過定點.

②當點P到直線AB的距離為時，求三角形PAB的外接圓方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年寒假期間，某高中決定深入調查本校學生寒假期間在家學習情況，并將依據(jù)調查結果對相應學生提出針對性學習建議．現(xiàn)從本校高一、高二、高三三個年級中分別隨機選取30，45，75人，然后再從這些學生中抽取10人，進行學情調查．

（1）若采用分層抽樣抽取10人，分別求高一、高二、高三應抽取的人數(shù)．

（2）若被抽取的10人中，有6人每天學時超過7小時，有4人每天學時不足4小時，現(xiàn)從這10人中，再隨機抽取4人做進一步調查．

（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學時不足4小時”，求事件A發(fā)生的概率；

（ii）用ξ表示被抽取的4人中學時不足4小時的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

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