Question

設(shè)函數(shù)，，其中為實數(shù).
（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；
（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）
（2）當或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.

（1）∵，考慮到函數(shù)的定義域為，故，進而解得
，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).
由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.
令，得，當時，；當時，，
又在上有最小值，所以，即，
綜上所述，.
（2）當時，必是單調(diào)增函數(shù)；當時，令，
解得，即，
∵在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即，
綜合上述兩種情況，有.
①當時，由以及，得存在唯一的零點；
②當時，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在是單調(diào)增函數(shù)，∴在上存在零點. 另外，當時，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個零點.
③當時，令，解得.
當時，；當時，. ∴是的最大值點，且最大值為.
1)當，即時，有一個零點.
2)當，即時，有兩個零點. 實際上，對于，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在上存在零點.
另外，當時，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上有一個零點.
下面需要考慮在上的情況，先證，
為此，我們要證明：當時，，設(shè)，則，再設(shè)，則.
當時，，∴在上是單調(diào)增函數(shù)，
故當時，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進而當
時，，即當時，.
當，即時，，又，且函數(shù)
在的圖象不間斷，∴在上存在零點.
又當時，，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個零點.
綜上所述，當或時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.
【考點定位】本小題主要考查導數(shù)的運算及用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)、方程及不等式的相互轉(zhuǎn)化，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題及推理論證能力.