Question

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù)。

Answer 1

解法一 （Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）當即時，函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.
當即時，函數(shù)的圖象有一個交點，即方程有一個根.
顯然當時，方程沒有根.

（Ⅰ）
當時，；當時
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）

通過圖象可對進行討論：
當即時，函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個根.
當即時，函數(shù)的圖象有一個交點，即方程有一個根.
顯然當時，方程沒有根.
解法二 （Ⅰ），
由，解得，
當時，，單調(diào)遞減
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
最大值為
（Ⅱ）令   
（1）當時，，則，
所以，
因為， 所以
因此在上單調(diào)遞增.
（2）當時，當時，，則，
所以，
因為，，又
所以 所以
因此在上單調(diào)遞減.
綜合（1）（2）可知 當時，，
當，即時，沒有零點，
故關(guān)于的方程根的個數(shù)為0；
當，即時，只有一個零點，
故關(guān)于的方程根的個數(shù)為1；
當，即時，
①當時，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；
②當時，由（Ⅰ）知
；
要使，只需使，即；
所以當時，有兩個零點，故關(guān)于的方程根的個數(shù)為2；
綜上所述：
當時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為0；
當時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為1；
當時，關(guān)于的方程根的個數(shù)為2.
【考點定位】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等主干知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用.第一問的研究為第二問進行數(shù)形結(jié)合鋪平了“道路”，使的相對位置關(guān)系更明晰.