【題目】設函數(shù)f(x)=lnx﹣ax,a∈R.
(1)當x=1時,函數(shù)f(x)取得極值,求a的值;
(2)當0<a< 時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)當a=﹣1時,關于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的值.

【答案】
(1)解:f(x)的定義域為(0,+∞),所以f′(x)= ﹣a=

因為當x=1時,函數(shù)f(x)取得極值,所以f′(1)=1﹣a=0,所以a=1.

經(jīng)檢驗,a=1符合題意.


(2)解:f′(x)= ﹣a= ,x>0.

令f′(x)=0得x=

因為0<a< ,1≤x≤2,∴0<ax<1,∴1﹣ax>0,∴f′(x)>0,

∴函數(shù)f(x)在[1,2]上是增函數(shù),

∴當x=2時,f(x)max=f(2)=ln2﹣2a.


(3)解:因為方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,

所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數(shù)解,

設g(x)=x2﹣2mlnx﹣2mx,

則g′(x)= ,令g′(x)=0,x2﹣mx﹣m=0.

因為m>0,x>0,所以x1= <0(舍去),x2= ,

當x∈(0,x2)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調遞減,

當x∈(x2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調遞增,

當x=x2時,g(x)取最小值g(x2).

所以2mlnx2+mx2﹣m=0,因為m>0,所以2lnx2+x2﹣1=0(*),

設函數(shù)h(x)=2lnx+x﹣1,因為當x>0時,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.

因為h(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1,即 =1,

解得m=


【解析】(1)先求出函數(shù)f(x)的定義域和導數(shù),再利用已知條件建立含有a的方程,解方程,可得a的值;(2)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),再判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調性,進而可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值;(3)先構造函數(shù),再利用導數(shù)可得函數(shù)的單調性,進而可得函數(shù)的最小值,從而建立含有m的方程,解方程,可得實數(shù)m的值.

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