【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=8,定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).

(1)確定y=g(x),y=f(x)的解析式;

(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零點,求a的取值范圍;

(3)若對任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1);(2)(﹣);(3)(﹣∞,﹣12).

【解析】

(Ⅰ)設(shè)g(x)=ax(a>0a≠1),由a3=8解得a=2.故g(x)=2x.再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),求出m、n的值,得到f(x)的解析式;(Ⅱ)根據(jù)零點存在定理得到h(﹣1)h(1)<0,解得即可;(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)和減函數(shù),轉(zhuǎn)化為即對一切t∈(-4,4),有t2+6t﹣3>k恒成立,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.

(1)解:設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2. ∴g(x)=2x

,

∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴,∴n=1,

又f(﹣1)=f(1),∴,解得m=2

(2)解:由(1)知 , 易知f(x)在R上為減函數(shù),

又h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零點,

從而h(﹣1)h(1)<0,即,

∴(a+ )(a﹣)<0,

∴﹣<a<

∴a的取值范圍為(﹣,

(3)解:由(1)知, 又f(x)是奇函數(shù),∴f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0,

∴f(6t﹣3)<﹣f(t2﹣k)=f(k﹣t2),

∵f(x)在R上為減函數(shù),由上式得6t﹣3>k﹣t2 ,

即對一切t∈(﹣4,4),有t2+6t﹣3>k恒成立,

令m(t)=t2+6t﹣3,t∈(﹣4,4),易知m(t)>﹣12,

∴k<﹣12,

即實數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,﹣12).

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