【題目】已知函數,其中.
(1)若x=2是函數f(x)的極值點,求在(1,h(1))處的切線方程;
(2)若對任意的(為自然對數的底數)都有成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)由是極值點,可知,從而可得值,再求出,得,此為切線斜率,切線方程為,化簡即可;(2)對本小題命題,可求出的最小值和的最大值,命題可轉化為,然后可求得的范圍,最大值由導數的性質易求,由于中含有參數,求其最小值時要分類討論.
試題解析:(1)解:∵, ∵x=2是函數f(x)的極值點,
∴, 即.又a≥1, ∴a=2
∴, ∴,
∴, 又h(1)=6
∴所求的切線方程是 y-1=-(x-6),即 y=-x+7.
(2)解:對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥
當[1,]時,.
∴函數在上是增函數.
∴.
∵,且,.
① 當1≤≤時,
若1≤<,則,
若<≤,則.
∴函數在上是減函數,在上是增函數.
∴.
由≥,得≥, 又1≤≤,∴≤≤.
②.當且[1,]時,,
∴函數在上是減函數.
∴.由≥,得≥,
又,∴.
綜上所述,的取值范圍為
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【題目】對于定義域為D的函數,如果存在區(qū)間,同時滿足:①在內是單調函數;②當定義域是時,的值域也是.則稱是該函數的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:是函數=的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(R,)有“和諧區(qū)間” ,當變化時,求出的最大值.
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【題目】某同學的父親決定今年夏天賣西瓜賺錢,根據去年6月份的數據統(tǒng)計連續(xù)五天內每天所賣西瓜的個數與溫度之間的關系如下表:
溫度 | 32 | 33 | 35 | 37 | 38 |
西瓜個數 | 20 | 22 | 24 | 30 | 34 |
(1)求這五天內所賣西瓜個數的平均值和方差;
(2)求變量之間的線性回歸方程,并預測當溫度為時所賣西瓜的個數.
附:,(精確到).
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【題目】選修4-1:幾何證明選講
如圖所示,已知PA與⊙O相切,A為切點,PBC為割線,弦CD∥AP,AD、BC相交于E點,F為CE上一點,且DE2=EF·EC.
(1)求證:P=EDF;
(2)求證:CE·EB=EF·EP.
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【題目】已知f(x)=ax- -5ln x,g(x)=x2-mx+4.
(1)若x=2是函數f(x)的極值點,求a的值;
(2)當a=2時,若x1∈(0,1),x2∈[1,2],都有f(x1)≥g(x2)成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】四名同學根據各自的樣本數據研究變量x,y之間的相關關系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個結論:
①y與x負相關且=2.347x-6.423;
②y與x負相關且=-3.476x+5.648;
③y與x正相關且=5.437x+8.493;
④y與x正相關且=-4.326x-4.578.
其中一定不正確的結論的序號是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
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【題目】某市電視臺為了宣傳,舉辦問答活動,隨機對該市15至65歲的人群進行抽樣,頻率分布直方圖及回答問題統(tǒng)計結果如表所示:
(1)分別求出的值;
(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組應各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取3人頒發(fā)幸運獎,求:所抽取的人中第3組至少有1人獲得幸運獎的概率.
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【題目】如圖,邊長為5的正方形與矩形所在平面互相垂直,分別為的中點,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在線段上是否存在一點,使得?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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