【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時(shí)滿足:①內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②當(dāng)定義域是時(shí),的值域也是.則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.

(1)證明:是函數(shù)=的一個(gè)“和諧區(qū)間”.

(2)求證:函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

(3)已知:函數(shù)R,)有“和諧區(qū)間” ,當(dāng)變化時(shí),求出的最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).

【解析】

試題分析:(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用和諧區(qū)間的定義推證;(2)借助題設(shè)運(yùn)用和諧區(qū)間的定義推證;(3)運(yùn)用和諧區(qū)間的定義將其轉(zhuǎn)化為二次方程有根的問題探求.

試題解析:

(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 因?yàn)?/span>所以值域?yàn)?/span>,

所以區(qū)間的一個(gè)“和諧區(qū)間”.

(2)設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.,,

故函數(shù)上單調(diào)遞增. 是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

是方程的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根.

無實(shí)數(shù)根, 函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.

(3)設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集.,

故函數(shù)上單調(diào)遞增.

是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

是方程,即的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根.

,∴同號(hào),只須,并解得不等式的解集為,

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間” , ,

當(dāng)時(shí),取最大值

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(Ⅰ)求第四小組的頻率,補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;并估計(jì)該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的中位數(shù).(精確到0.1);

(Ⅱ)按分層抽樣的方法在數(shù)學(xué)成績是[60,70),[70,80)的兩組學(xué)生中選6人,再在這6人種任取兩人,求他們的分?jǐn)?shù)在同一組的概率

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