【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=9,an+1=an+2n+5;數(shù)列{bn}滿足b1= ,bn+1= bn(n≥1).
(1)求an , bn;
(2)記數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Sn , 證明: ≤Sn< .
【答案】
(1)解:由an+1=an+2n+5得an+1﹣an=2n+5,
則a2﹣a1=7,
a3﹣a2=9,
…
an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣2)+5,
an﹣an﹣1=2(n﹣1)+5=2n+3
等式兩邊同時(shí)相加得
an﹣a1= ×(n﹣1)=(5+n)(n﹣1)=n2+4n﹣5,
則an=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 .
又∵ , ,
∴ ,∴ , , ,…, ,
將上述(n﹣1)個(gè)式子相乘,得 ,即 .
(2)解:∵ .
∵ = ,
,∴
【解析】(1)利用數(shù)列的遞推關(guān)系,利用累加法和累積法進(jìn)行求解即可.(2)求出數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式,利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解,結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長相等),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M.
(I)求曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D,當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí),求直線BC的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,底面是直角梯形,,,,是上的點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若是的中點(diǎn),且二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等比數(shù)列,a1=1,a6=243.Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,b1=1,S5=25.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn , 求Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式mx2+2x+6m>0,在下列條件下分別求m的值或取值范圍:
(1)不等式的解集為{x|2<x<3};
(2)不等式的解集為R.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若a3 , a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項(xiàng)和第16項(xiàng),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知不等式的對任意實(shí)數(shù)恒成立.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的最小值;
(Ⅱ)若,且滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面底面, , , , , ,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)在棱上,且平面.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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