【題目】已知橢圓的一個焦點與上下頂點構(gòu)成直角三角形,以橢圓E的長軸為直徑的圓與直線相切.

(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;

(Ⅱ)為橢圓上不同的三點,為坐標原點,若,試問:的面積是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)是定值,定值為

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意利用圓心到直線的距離與半徑相等列出關(guān)于的關(guān)系,再根據(jù)一個焦點與上下頂點構(gòu)成直角三角形可得,再聯(lián)立求解即可.

(Ⅱ)分當斜率不存在與存在兩種情況.當斜率存在時設(shè)直線,再聯(lián)立方程寫出韋達定理,再根據(jù)得出關(guān)于,的關(guān)系,代入化簡可得,再求出面積的表達式,代入化簡證明即可.

(Ⅰ)由題意知,

解得.則橢圓C的方程是:

(Ⅱ)①當斜率不存在時,不妨設(shè),,

②設(shè)

設(shè),,,.

,代入,化簡可得

原點的距離,

綜上:的面積為定值

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A.1B.2C.3D.4

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