【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為的等差數(shù)列,偶數(shù)項是首項為的等比數(shù)列.?dāng)?shù)列前項和為,且滿足,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求正整數(shù)的值;
(3)是否存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的一項?若存在,求出所有滿足條件的值,若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,或.
【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為,偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為,由題意列式求出公差和公比,則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可得出;,進(jìn)而可求得數(shù)列的通項公式;
(2)分和,利用即可求出滿足該等式的正整數(shù)的值;
(3)求出和,假設(shè)存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的一項,設(shè),變形得到,由此式得到的可能取值,然后依次分類討論求解.
(1)設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為,偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為,
則,,,,,
,,即,
又,即,
所以,,解得,
對于,有,.
故;
(2)若,則由,得,得,得,;
若,由,得,
此時左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),不成立.
故滿足條件的整數(shù);
(3)對于,有.
.
假設(shè)存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的一項,
又由(1)知,數(shù)列中的每一項都為整數(shù),故可設(shè),
則,變形得到①,
,,,.
又,故可能取、、.
當(dāng)時,,,①不成立;
當(dāng)時,則.
若,.
令,則.
,則,則.
因此,,
故只有,此時,.
當(dāng)時,,,.
綜上,存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的第三項;
存在正整數(shù),使得恰好為數(shù)列中的第二項.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能,近幾年在國內(nèi)出臺的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下,某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急劇上漲,如下表:
年份 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
新增光伏裝機(jī)量兆瓦 | 0.4 | 0.8 | 1.6 | 3.1 | 6.1 | 7.1 | 9.7 | 12.2 |
某位同學(xué)分別用兩種模型:①,②進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,殘差圖如下(注:殘差等于)
經(jīng)過計算得,,,,其中,.
(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應(yīng)該選擇哪個模型?并簡要說明理由.
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測該地區(qū)2020年新增光伏裝機(jī)量是多少.(在計算回歸系數(shù)時精確到0.01)
附:歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓1(a>b>0)的焦距F1F2的長為2,經(jīng)過第二象限內(nèi)一點P(m,n)的直線1與圓x2+y2=a2交于A,B兩點,且OA.
(1)求PF1+PF2的值;
(2)若,求m,n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上動點到點距離比它到直線距離少1.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)記動點的軌跡為曲線,過點作直線與曲線交于兩點,點,延長,,與曲線交于,兩點,若直線,的斜率分別為,,試探究是否為定值?若為定值,請求出定值,若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為非零實數(shù).
(1)求的極值;
(2)當(dāng)時,在函數(shù)的圖象上任取兩個不同的點、.若當(dāng)時,總有不等式成立,求正實數(shù)的取值范圍:
(3)當(dāng)時,設(shè)、,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點與上下頂點構(gòu)成直角三角形,以橢圓E的長軸為直徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)為橢圓上不同的三點,為坐標(biāo)原點,若,試問:的面積是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家“十三五”計劃,提出創(chuàng)新興國,實現(xiàn)中國創(chuàng)新,某市教育局為了提高學(xué)生的創(chuàng)新能力,把行動落到實處,舉辦一次物理、化學(xué)綜合創(chuàng)新技能大賽,某校對其甲、乙、丙、丁四位學(xué)生的物理成績(x)和化學(xué)成績(y)進(jìn)行回歸分析,求得回歸直線方程為=1.5x﹣35.由于某種原因,成績表(如表所示)中缺失了乙的物理和化學(xué)成績.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
物理成績(x) | 75 | m | 80 | 85 |
化學(xué)成績(y) | 80 | n | 85 | 95 |
綜合素質(zhì) (x+y) | 155 | 160 | 165 | 180 |
(1)請設(shè)法還原乙的物理成績m和化學(xué)成績n;
(2)在全市物理化學(xué)科技創(chuàng)新比賽中,由甲、乙、丙、丁四位學(xué)生組成學(xué)校代表隊參賽.共舉行3場比賽,每場比賽均由賽事主辦方從學(xué)校代表中隨機(jī)抽兩人參賽,每場比賽所抽的選手中,只要有一名選手的綜合素質(zhì)分高于160分,就能為所在學(xué)校贏得一枚榮譽(yù)獎?wù)拢粲洷荣愔汹A得榮譽(yù)獎?wù)碌拿稊?shù)為ξ,試根據(jù)上表所提供數(shù)據(jù),預(yù)測該校所獲獎?wù)聰?shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b﹣c)(sinA+sinB+sinC)=bsinA.
(1)求C;
(2)若a=2,c=5,求△ABC的面積.
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