【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程可得答案;(Ⅱ)對(duì)m進(jìn)行討論,解可得函數(shù)的增區(qū)間,解得函數(shù)的減區(qū)間;(III)由題意可知g′(x)=0在(1,2)上有解,討論m的范圍,判斷g′(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù),得出結(jié)論.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,
所以,.
又,
所以曲線在處的切線方程為
(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
,
(1)當(dāng)即時(shí),
因?yàn)?/span>,,
所以的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間.
(2)當(dāng),即時(shí),令,得
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
所以的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.
綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)減區(qū)間;
當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(Ⅲ)因?yàn)?/span>,
所以.
令.
若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),
則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).
又,
所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn).
且時(shí),
時(shí),
則在內(nèi)為減函數(shù),在內(nèi)為增函數(shù).
又因?yàn)?/span>且在內(nèi)存在零點(diǎn),
所以
解得.
顯然在內(nèi)有唯一零點(diǎn),記為.
當(dāng)時(shí),時(shí),,所以在點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),即在點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),
又在內(nèi)成立,
所以在內(nèi)單調(diào)遞增,故無(wú)極值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),易得時(shí),故無(wú)極值點(diǎn).
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下關(guān)于圓錐曲線的命題中:①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn);②設(shè)、是兩個(gè)定點(diǎn),為非零常數(shù),若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支;③設(shè)點(diǎn)、分別是定圓上一個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓;其中真命題是_________.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行
B. 若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直
C. 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行
D. 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為慶祝某校一百周年校慶,展示該校一百年來(lái)的辦學(xué)成果及優(yōu)秀校友風(fēng)采,學(xué)校準(zhǔn)備校慶期間搭建一個(gè)扇形展覽區(qū),如圖,是一個(gè)半徑為2百米,圓心角為的扇形展示區(qū)的平面示意圖.點(diǎn)是半徑上一點(diǎn),點(diǎn)是圓弧上一點(diǎn),且.為了實(shí)現(xiàn)“以展養(yǎng)展”,現(xiàn)決定:在線段、線段及圓弧三段所示位置設(shè)立廣告位,經(jīng)測(cè)算廣告位出租收入是:線段處每百米為元,線段及圓弧處每百米均為元.設(shè)弧度,廣告位出租的總收入為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)試問(wèn)為何值時(shí),廣告位出租的總收入最大,并求出其最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示.是滑槽的中點(diǎn),短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng),長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng),且,.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng),M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C.以為原點(diǎn),所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn).若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)已知(是虛數(shù)單位)是關(guān)于的方程的根,、,求的值;
(2)已知(是虛數(shù)單位)是關(guān)于的方程的一個(gè)根,、,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖,直線是拋物線()和圓C:的公切線,切點(diǎn)(在第一象限)分別為P、Q.F為拋物線的焦點(diǎn),切線交拋物線的準(zhǔn)線于A,且.
(1)求切線的方程;
(2)求拋物線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,橢圓的離心率為,過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),且斜率為的直線,與以右焦點(diǎn)為圓心,半徑為的圓相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)線段是橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的弦,且,求的面積的最大值以及取最大值時(shí)實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商家耗資4500萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一批(虛擬現(xiàn)實(shí))設(shè)備,經(jīng)調(diào)試后計(jì)劃明年開(kāi)始投入使用,由于設(shè)備損耗和維護(hù),第一年需維修保養(yǎng)費(fèi)用200萬(wàn)元,從第二年開(kāi)始,每年的維修保并費(fèi)用比上一年增40萬(wàn)元.該設(shè)備使用后,每年的總收入為2800萬(wàn)元.
(1)求盈利額(萬(wàn)元)與使用年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該設(shè)備使用多少年,商家的年平均盈利額最大?最大年平均盈利額是多少?
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