Question

【題目】已知函數(shù)，是實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）只有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）求出，證明出當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，即可得出結(jié)論；

（2）由得出，設(shè)，其中，然后利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值的情況分析根的情況．

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

令，則，令.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，即對任意的恒成立.

因此，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)；

（2）由，可得，

設(shè)，其中，則，

令，，則，令.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，

對任意的，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

對任意的，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).

因此，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).