定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(2)解不等式f(x)+f(x-
12
)≤0.
分析:(1)令x=y=1,利用恒等式f(xy)=f(x)+f(y)可求f(1),令x=y=-1,求f(-1),令y=-1,代入f(xy)=f(x)+f(y),結(jié)合(1)的結(jié)論即可證得f(-x)=f(x)
(3)利用恒等式變f(x)+f(x-
1
2
)≤0為)f[x(x-
1
2
)]≤0.由(1)的結(jié)論知函數(shù)是一偶函數(shù),由函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的遞增函數(shù),即可得到關(guān)于x的不等式.
解答:解:(1)f)x)為偶函數(shù),證明如下:
證明:令x=y=1,由f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=0
令x=y=-1,則f(0)=2f(-1)
∴f(-1)=0------------------(2分)
又令y=-1,則f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù)------(5分)
(2)∵f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)
∴f(x)≤0=f(1)時(shí),0<x≤1
又由(1)得結(jié)論-1≤x<0
∵f(x)+f(x-
1
2
)=f[x(x-
1
2
)]≤0.
-1≤x(x-
1
2
)≤1
且x(x-
1
2
)≠0
解可得到,
1-
17
4
≤x<0
0<x<
1
2
1
2
<x≤
1+
17
4
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用賦值求解抽象函數(shù)的函數(shù)值,及奇偶性的判斷與證明,以及由函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式,抽象不等式的解法基本上都是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解,轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性,別忘記定義域的考慮.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的遞增函數(shù)
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)求證:f(-x)=f(x);
(3)解關(guān)于x的不等式:f(2)+f(x-
12
)≤0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)為增函數(shù),
且f(2)=1.
(1)求f(1),f(-1)的值,并求證:f(x)為偶函數(shù);
(2)判斷并證明f(x)在(-∞,0)的單調(diào)性;
(3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在非零實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),且f(-3)=0.
(1)求f(3)的值;
(2)求滿足f(x)>0的x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)為定義在非零實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)>xf′(x)在定義域上恒成立,則( 。

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