定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)f(x)對任意非零實數(shù)x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)為增函數(shù),
且f(2)=1.
(1)求f(1),f(-1)的值,并求證:f(x)為偶函數(shù);
(2)判斷并證明f(x)在(-∞,0)的單調(diào)性;
(3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3.
分析:(1)先令x=y=1得到f(1)=f(-1)=0,從而得出f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),f(x)為偶函數(shù);
(2)結(jié)論是:f(x)在(-∞,0)為單調(diào)減函數(shù);證明如下:設(shè)x1,x2∈R且x1<x2,則f(x1)-f(x2)與零比較,得出f(x1)>f(x2)故f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù).
(3)先得出f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16),根據(jù)奇偶性和單調(diào)性得|x|>|8x-16|解得答案即可.
解答:解:(1)令x=y=1得:
f(1)=f(-1)=0,
f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
∴f(x)為偶函數(shù);
(2)f(x)在(-∞,0)為單調(diào)減函數(shù);
設(shè)x1,x2∈R且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1]
∵x1-x2<0
∴f(x1-x2)>f(0)=1
∴f(x1-x2)-1>0
對f(x2)>0
∴f(x2)f[(x1-x2)-1]>0
∴f(x1)>f(x2)故f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù).
(3)f(2)=1得f(4)=2,f(8)=3,
所以f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)
根據(jù)奇偶性和單調(diào)性得|x|>|8x-16|,x2>(8x-16)2,即63x2-256x+256<0
解得:
16
9
<x<
16
7
且x≠2.
點評:本小題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)求證:f(-x)=f(x);
(3)解關(guān)于x的不等式:f(2)+f(x-
12
)≤0

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(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(2)解不等式f(x)+f(x-
12
)≤0.

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