Question

定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的遞增函數(shù)
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）求證：f（-x）=f（x）；
（3）解關(guān)于x的不等式：f(2)+f(x-

1

2

)≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=-1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（-1）
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結(jié)合（1）的結(jié)論即可證得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式變f(2)+f(x-

1

2

)≤0為f（2x-1）≤f（-1），由（2）的結(jié)論知函數(shù)是一偶函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上的遞增函數(shù)，即可得到關(guān)于x的不等式．

解答：解：（1）令，則f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0（3分）
令x=y=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0（6分）

（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（-x）=f（x）（10分）

（3）據(jù)題意可知，
f（2）+f（x-

1

2

）=f（2x-1）≤0
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1（13分）
∴0≤x＜

1

2

或

1

2

＜x≤1（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其運(yùn)用，考查用賦值的方法求值與證明，以及由函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，別忘記定義域這一限制條件．