Question

【題目】已知一圓的圓心在直線上，且該圓經過和兩點.

（1）求圓的標準方程；

（2）若斜率為的直線與圓相交于，兩點，試求面積的最大值和此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值2，或.

【解析】

（1）方法一、求得的垂直平分線方程與已知直線聯(lián)立，求得圓心，可得半徑，即可得到所求圓的方程；

方法二、設圓的方程為，將點代入可得，，的方程組，解方程可得圓的方程；

（2）直線與圓相交，設直線的方程為，求得圓心到直線的距離和弦長，由三角形的面積公式，化為關于的二次函數，求得最值，進而求得，可得所求直線方程；

（1）方法一：和兩點的中垂線方程為：，

圓心必在弦的中垂線上，聯(lián)立得，

半徑，所以圓的標準方程為：.

方法二：設圓的標準方程為：，

由題得：，解得：

所以圓的標準方程為：.

（2）設直線的方程為，圓心到直線的距離為，

∴，且，，

面積，

當，時，取得最大值2

此時，解得：或

所以，直線的方程為：或.