Question

【題目】已知.

（1）對(duì)一切， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；

（3）證明：對(duì)一切，都有成立.

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)對(duì)一切恒成立，也就是在恒成立，下面只要求出函數(shù)的最小值，使得小于函數(shù)的最小值即可；（2）要求函數(shù)最值，不管遇到什么特殊的函數(shù)，一定要按照求最值的方法按部就班的來解，首先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)對(duì)于零，得到可能是極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)和區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)之間的關(guān)系，得到結(jié)果；（3）要證不等式在一個(gè)區(qū)間上恒成立，把問題進(jìn)行等價(jià)變形，由（2）知時(shí)， 的最小值是，只要求函數(shù)最大值進(jìn)行比較即可.

試題解析：（1）對(duì)一切恒成立，即恒成立.

也就是在恒成立. 令 ，

則，

在上，在上，

因此，在處取極小值，也是最小值，即，所以.

（2）當(dāng),，由得.

①當(dāng)時(shí)，在上，在上

因此，在處取得極小值，也是最小值. .

由于

因此，.

②當(dāng)，，因此上單調(diào)遞增，所以，.

（3）證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明,

由(Ⅱ)知時(shí)，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，

設(shè)，則，易知

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

但從而可知對(duì)一切，都有成立.