Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，直線的傾斜角為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若經(jīng)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)均在軸的左側(cè)，記和的面積分別為和，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)直線的傾斜角為可得，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，可得，再結(jié)合可解得，，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，顯然的，同號，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求得，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增可求得，進(jìn)一步求得.

（1）因?yàn)闄E圓方程為，直線的傾斜角為，

所以在中（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，所以，

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，

所以，所以．

因?yàn)?/span>，

所以，解得或，

又，所以，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，

此時，，與的面積相等，．

②當(dāng)直線斜率存在時，因?yàn)?/span>，兩點(diǎn)均在軸的左側(cè)，

設(shè)直線方程為，，，顯然的，同號，

由，得，

顯然，方程有實(shí)根，

由韋達(dá)定理知的，，

又，所以或，

此時

因?yàn)?/span>或，所以．

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，

所以，

所以．

當(dāng)直線的斜率存在時，．

綜上所述，的取值范圍為．