Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）討論極值點的個數(shù)；

（3）若是的一個極小值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有一個極值點（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，，，得到切線方程.

（2）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況， 時必存在，使，計算單調(diào)區(qū)間得到極值點個數(shù).

（3），即，代入得到，設(shè)，確定函數(shù)單調(diào)遞減得到，令，確定單調(diào)性得到答案.

（1）當(dāng)時，，，所以，.

從而在處的切線方程為，即.

（2），，

①當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，不存在極值點；

②當(dāng)時，令，，

顯然函數(shù)在是增函數(shù)，又因為，，

必存在，使，

，，，為減函數(shù)，

，，，為增函數(shù)，

所以，是的極小值點，

綜上：當(dāng)時，無極值點，當(dāng)時，有一個極值點.

（3）由（2）得：，即，

，

因為，所以，

令，，在上是減函數(shù)，

且，由得，所以.

設(shè)，，，

，，所以為增函數(shù)，

即，即，所以，

所以，所以，

因為，所以，，

相乘得，

所以，

結(jié)論成立.